Ανακατεύουμε όλα τα υλικά και μαρινάρουμε το κοτόπουλο για μια νύχτα.
Την επομένη αφαιρούμε το κοτόπουλο από τη μαρινάδα του και το ψήνουμε στους 150 βαθμούς, σε χαμηλή θερμοκρασία για 60 λεπτά περίπου.
Βράζουμε τις πατάτες για 8′ σε αλατισμένο νερό.
Τις αφαιρούμε από το νερό και τις στραγγίζουμε πάρα πολύ καλά.
Τις τοποθετούμε σε ταψί με το ελαιόλαδο, το βούτυρο, το σκόρδο, το θυμάρι, δενδρολίβανο, αλάτι και πιπέρι και τις ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο για 20-25 λεπτά, έως ότου ροδοκοκκινίσουν και γίνουν τραγανές.
Τις σερβίρουμε με το κοτόπουλο και τη ρόκα και τρίβουμε το αρσενικό Νάξου, μαζί με ξύσμα λεμονιού και ψιλοκομμένο δενδρολίβανο.